更新:2024/09/18

不偏推定量の定義・具体例について

$はるか$

はるか

今日は「不偏推定量」について。

$ふゅか$

ふゅか

うん！不偏推定量は、統計学でとても大事な概念なの。期待値が母数と一致する推定量のことだよ！

1. 不偏推定量とは

不偏推定量とは、母数の推定に使用される推定量の中で、その期待値が推定しようとする母数と一致するものを指します。つまり、不偏推定量は、サンプルから得られた推定値の平均（期待値）が真の母数に等しくなることを意味します。

具体的に言うと、ある母数 $\theta$ の推定量 $\hat{\theta}$ が不偏推定量であるためには、次の条件が満たされる必要があります。

\[ E[\hat{\theta}] = \theta \]

ここで、$E[\hat{\theta}]$ は $\hat{\theta}$ の期待値です。

母集団の平均 $\mu$ を推定するための不偏推定量として、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ が使われます。

$ふゅか$

ふゅか

母集団の平均を推定するには、標本平均がよく使われるよね。これも不偏推定量だよ！

母集団の分散 $\sigma^2$ を推定するために、不偏推定量として不偏分散 $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ が使用されます。