更新:2024/09/18
不偏推定量の定義・具体例について


はるか
今日は「不偏推定量」について。

ふゅか
うん!不偏推定量は、統計学でとても大事な概念なの。期待値が母数と一致する推定量のことだよ!
1. 不偏推定量とは
不偏推定量とは、母数の推定に使用される推定量の中で、その期待値が推定しようとする母数と一致するものを指します。つまり、不偏推定量は、サンプルから得られた推定値の平均(期待値)が真の母数に等しくなることを意味します。
具体的に言うと、ある母数 \(\theta\) の推定量 \(\hat{\theta}\) が不偏推定量であるためには、次の条件が満たされる必要があります。
\[ E[\hat{\theta}] = \theta \]
ここで、\(E[\hat{\theta}]\) は \(\hat{\theta}\) の期待値です。
2. 不偏推定量の具体例
2.1. 母平均の不偏推定量
母集団の平均 \(\mu\) を推定するための不偏推定量として、標本平均 \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) が使われます。

ふゅか
母集団の平均を推定するには、標本平均がよく使われるよね。これも不偏推定量だよ!
2.2. 母分散の不偏推定量
母集団の分散 \(\sigma^2\) を推定するために、不偏推定量として不偏分散 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\) が使用されます。
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