上三角行列の具体例と性質について解説

はるか

上三角行列って何？

ふゅか

行列の上半分に要素がある行列のことね！

1. 上三角行列の定義

上三角行列（じょうさんかくぎょうれつ、Upper Triangular Matrix）は、正方行列の一種で、行列の下半分の成分がすべてゼロであるものを指します。

ここで、$a_{ij} = 0$ となるのは $i > j$ のときです。

1.1. 上三角行列の具体例

例えば、3×3の上三角行列は次のようになります。

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$$

この行列の行列式は、対角成分の積で計算されます。

$$\det(A) = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$$

一般に、任意の $n$ 次の上三角行列の場合も同様に、対角成分の積を取るだけで行列式を求めることができます。

$$\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn}$$

対角成分で余因子展開をすることで、簡単に計算することができます。

1.2. 上三角行列の積

行列 $A$ と $B$ が両方とも $n \times n$ の上三角行列であるとします。このとき、行列 $C = AB$ の成分 $c_{ij}$ は以下のように計算されます。 $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$

$A$ と $B$ の下三角部分がゼロであるため、積 $C$ の下三角部分もゼロになります。つまり、$i > j$ の場合は $c_{ij} = 0$ です。

1.3. 具体例

例として、2つの3次の上三角行列 $A$ と $B$ を考えます。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}$$

これらの積 $C = AB$ を計算します。

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 28 & 60 \\ 0 & 40 & 83 \\ 0 & 0 & 72 \end{pmatrix}$$

このように、積 $C$ も上三角行列となります。