ベクトルと三角形の面積の計算方法と例題について

1. ベクトルから面積を求める

2. ベクトルと面積

2.1. 証明

三角形の面積はsinを用いた三角形の面積の求め方より、

$$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin\theta$$

$0<\theta<\pi$では、$\sin\theta>0$であるため、$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$となり、

$$\begin{align*} S &= \dfrac{1}{2}|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sqrt{1-\cos^2\theta} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2 - |\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2\cos^2\theta} \end{align*}$$

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b| \cos\theta$であることより、

$$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2-(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)^2}$$

2.2. 例題1

$$\overrightarrow {AB} = (3 , 4) - (1 , 2) = (2 , 2) $$

$$\overrightarrow {AC} = (2 , 1) - (1 , 2) = (1 , -1)$$

よって、内積とベクトルの大きさをそれぞれもともめると、

$$\overrightarrow AB\cdot \overrightarrow AC = 2-2=0$$

$$|\overrightarrow AB|=2\sqrt{2}$$

$$|\overrightarrow AC|=\sqrt{2}$$

三角形の面積は、以下のようになる。

$$\begin{align*} S &= \dfrac{1}{2}\sqrt{8 \times 2 - 0} \\ &= \dfrac{4}{2} \\ &= 2 \end{align*}$$

3. ベクトルと面積の成分表示

$\overrightarrow a = (a_1,a_2),\overrightarrow b = (b_1,b_2)$としたとき、$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2-(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)^2}$に代入すると、

$$\begin{align*} S &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1^2b_1^2+2a_1b_1a_2b_2+a_2^2b_2^2)} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2b_2^2-2a_1b_1a_2b_2+a_2^2b_1^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \end{align*}$$

とのように、ベクトルの計算(内積・ノルムの大きさ)を用いずに、成分から求めることができる。これはサラスの公式とも呼ばれることがある。

ふゅか

成分を使う方が計算がシンプルなこともあるわ。

はるか

サラスの公式か。

3.1. 例題2

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求めます。

$$\overrightarrow{AB} = (3 , 4) - (0 , 2) = (3 , 2) $$

$$\overrightarrow{AC} = (2 , 1) - (0 , 2) = (2 , -1)$$

よって、ベクトルの成分から三角形の面積を求めると、以下のようになる。

$$\begin{align*} S &= \dfrac{1}{2}\left| 3 \times (-1) - 2 \times 2 \right| \\ &= \dfrac{7}{2} \end{align*}$$