実ベクトルの内積の性質・意味・具体例・例題について
1. 内積とは
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_i b_i = \mathbf{a} ^\top \mathbf{b} \]
ここで、\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) と \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\) はそれぞれのベクトルの成分です。
- 内積はドット積とも呼ばれます。
- 内積は計量線形空間（計量ベクトル空間）と深い関係があります。
1.1. 内積の例
二次元と三次元のベクトルの内積は次のように計算されます。
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2b_2 \]
\[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = c_1 d_1 + c_2 d_2 + c_3d_3 \]
1.2. 幾何学的な意味
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \]
ここで、\(|\mathbf{a}|\) と \(|\mathbf{b}|\) はそれぞれベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) の大きさ（ノルム）、\(\theta\) はベクトル間の角度です。この式から分かるように、内積はベクトルの長さとベクトル間の角度に依存します。また、$\cos\theta$は次のように表すことができます。
$$\cos\theta = \frac{ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{ |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| } $$
2. 内積の性質
2.1. 交換法則
内積は次のように定義されます。
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i \]
ここで、\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) と \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\) は \(n\) 次元ベクトルです。
それでは、\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\) を考えます。
\[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n b_i a_i \]
交換法則を示すために、この式を書き換えます。
\[ \sum_{i=1}^n b_i a_i = \sum_{i=1}^n a_i b_i \]
各項の積は交換可能であるため、\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\) となります。したがって、内積は交換法則を満たします。
2.2. 分配法則
\(\mathbf{b} + \mathbf{c}\) をベクトル \(\mathbf{d}\) として定義します。
\[ \mathbf{d} = \mathbf{b} + \mathbf{c} = (b_1 + c_1, b_2 + c_2, \ldots, b_n + c_n) \]
これに基づいて、内積 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}\) は次のように書けます。
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = \sum_{i=1}^n a_i (b_i + c_i) \]
分配法則を適用して、この式を次のように展開します。
\[ \sum_{i=1}^n a_i (b_i + c_i) = \sum_{i=1}^n (a_i b_i + a_i c_i) \]
\[= \sum_{i=1}^n a_i b_i + \sum_{i=1}^n a_i c_i \]
したがって、
\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \]
内積は分配法則を満たします。
2.3. スカラー倍
ベクトル \(\mathbf{a}\) を実数スカラー \(c\) 倍すると、\( c\mathbf{a} = (ca_1, ca_2, \ldots, ca_n) \) となります。そこで、\((c\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}\) を考えます。
\[ (c\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n (c a_i) b_i \]
スカラー \(c\) を各項に分配して、次のように書き換えます。
\[ \sum_{i=1}^n (c a_i) b_i = c \sum_{i=1}^n a_i b_i \]
これは \(c\) を外に出すことができることを示しています。したがって、
\[ (c\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = c (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \]
2.4. 内積と直交性
$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$が0ベクトルでないときに内積がゼロの場合、2つのベクトルは直交（垂直）していると言えます。
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \implies \text{ベクトル } \mathbf{a} \text{ と } \mathbf{b} \text{ は直交する} \]
3. 内積の例題
3.1. 例題1:内積を計算
ベクトル \( \mathbf{a} = (3, -2, 4) \) と \( \mathbf{b} = (1, 5, -1) \) の成分ごとの積を計算します。
$$ a_1 \times b_1 = 3 \times 1 = 3 $$
$$ a_2 \times b_2 = -2 \times 5 = -10 $$
$$ a_3 \times b_3 = 4 \times (-1) = -4 $$
これらの積を合計します。
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 + (-10) + (-4) = 3 – 10 – 4 = -11 \]
3.2. 例題2:$\cos\theta$を計算
ここで、\(\mathbf{a} = (3, 4)\) と \(\mathbf{b} = (4, -1)\) より、 \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times 4 + 4 \times (-1) = 12 – 4 =8 \]
各ベクトルの大きさ（ノルム）を計算します。
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]
ベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) の間の角度 \(\cos\theta\) は次の式で求められます。
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
\[ \therefore \cos \theta = \frac{8}{5 \sqrt{17}} \]
