平面ベクトルと空間ベクトルの一次独立・一次従属について
1. 平面ベクトル
平面ベクトルは、2次元の空間上に存在するベクトルです。これらのベクトルは、x軸とy軸の2つの軸で表され、成分は2つの数値で表現されます。ベクトル \(\overrightarrow{a}\) は次のように表せます。
\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \]
1.1. 平面ベクトルの一次独立・一次従属
実数\(s\) および \(t\) に対して、式 \( s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \) が成り立つならば、\(s = 0\) かつ \(t = 0\) でなければならない。
つまり、ベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のどちらも、他方のベクトルのスカラー倍として表すことができない場合、一次独立です。つまり、ベクトルは平行でないということです。
また、一次従属である場合、
$$\overrightarrow{a} = -\frac{t}{s}\overrightarrow{b} $$
となり、定数倍のベクトル（平行なベクトル）で表すことができます。
1.2. 一次独立かどうかを判別する方法
連立方程式を解く以外に、2次元ベクトルの場合、ベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の成分をそれぞれ \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)、\(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\) として、一次独立かどうかを確認するための簡単な方法があります。
それは、次の行列式が成り立つかどうかを確認することです。
\[ \det \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 – a_2 b_1 \neq 0 \]
この式が成り立つなら、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は一次独立です。逆に、もしこの式が0になる場合は、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は一次従属、すなわち、一方のベクトルが他方のスカラー倍として表されます。
- 行列式が0にならないと、一次独立
- 行列式が0になると、一次従属
1.3. 具体例
\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
これらのベクトルが一次独立かどうかを判定するために、先ほどの式を計算します。
\[ 1 \times 4 – 2 \times 3 = 4 – 6 = -2 \]
結果は \(-2\) で、0ではありません。したがって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は一次独立です。
2. 空間ベクトル
空間ベクトルは、3次元の空間で扱われるベクトルです。これらのベクトルは、x軸、y軸、z軸の3つの軸で表され、成分は3つの数値で表現されます。ベクトル \(\overrightarrow{b}\) は次のように表せます。
\[ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \]
2.1. 空間ベクトルの一次独立
\[ k_1 \overrightarrow{a} + k_2 \overrightarrow{b} + k_3 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \]
このとき、一次独立であるためには、唯一の解が \(k_1 = 0, k_2 = 0, k_3 = 0\) である必要があります。
また、一次従属である場合、
$$\overrightarrow{a} = -\frac{1}{k_1}(k_2\overrightarrow{b}+k_3\overrightarrow{c}) $$
となり、$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の定数倍のベクトルで表すことができます。
2.2. 一次独立を判別する方法
連立方程式を解く以外に、高校数学を超えますが、3次元ベクトルが一次独立であるかを簡単に調べる方法があります、行列式を使う方法です。3つのベクトル \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) の成分をそれぞれ次のように表します。
\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \]
この3つのベクトルを列ベクトルとして並べた行列 \(M\) を作ります。
\[ M = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \]
次に、この行列の行列式（determinant）を計算します。
- 行列式が0にならないと、一次独立
- 行列式が0になると、一次従属
2.3. 具体例
次の3つのベクトル \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) が与えられているとします。
\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]
これらのベクトルが一次独立かどうかを判別するために、行列式を計算します。
\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
行列式は次のように計算されます。
\[ \begin{align*} \text{det}(M) &= 1 \times (5 \times 9 – 6 \times 8) – 2 \times (4 \times 9 – 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 – 5 \times 7) \\ &= 1 \times (45 – 48) – 2 \times (36 – 42) + 3 \times (32 – 35) \\ &= 1 \times (-3) – 2 \times (-6) + 3 \times (-3) \\ &= -3 + 12 – 9 = 0 \end{align*} \]
行列式が0になったため、これらのベクトルは一次従属であることがわかります。つまり、3つのベクトルのうち1つは他の2つのベクトルの線形結合で表すことができます。
線形代数では、線形独立、線形従属という言葉で登場します。
