【ベクトル解析】ベクトル値関数とスカラー関数の意味と具体例について
1. スカラー関数
1.1. 定義
\[ f: D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \]
ここで、
- \( D \) は \( \mathbb{R}^n \) の部分集合で、関数の定義域です。
- 出力が実数なので、値域は \( \mathbb{R} \) です。
1.2. 例
- 一次関数\[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x + 3 \]実数 \( x \) に対して実数 \( f(x) \) を対応させる写像。
- 温度\[ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, \quad T(x, y, z) \]空間内の点 \( (x, y, z) \) に対して温度 \( T \) を対応させる写像。
2. ベクトル値関数
2.1. 定義
\[ \mathbf{f}: D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \]
ここで、
- \( D \) は \( \mathbb{R}^n \) の部分集合で、関数の定義域です。
- 出力が \( m \) 次元のベクトルで、値域は \( \mathbb{R}^m \) です。
2.2. 例
- 位置ベクトルの関数:\[ \mathbf{r}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \quad \mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \]パラメータ \( t \) に対して平面上の位置ベクトル \( \mathbf{r}(t) \) を対応させる写像。
- 速度:\[ \mathbf{v}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, \quad \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \]空間内の点 \( (x, y, z) \) に対して速度ベクトル \( \mathbf{v} \) を対応させる写像。
3. 応用例と具体的な使い方
3.1. スカラー関数の応用
位置エネルギー
\[ U: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, \quad U(\mathbf{r}) \]
位置ベクトル \( \mathbf{r} \) に対して位置エネルギー \( U \) を対応させる写像。
3.2. ベクトル値関数の応用
電場
\[ \mathbf{E}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, \quad \mathbf{E}(\mathbf{r}) \]
位置ベクトル \( \mathbf{r} \) に対して電場ベクトル \( \mathbf{E} \) を対応させる写像。
4. スカラー関数とベクトル値関数の違い
| スカラー関数 | ベクトル値関数 | |
|---|---|---|
| 写像の形式 | \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) | \( \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) |
| 出力 | スカラー（実数） | ベクトル |
| 応用例 | 位置エネルギー | 電場、磁場 |
5. 例題
\[ \mathbf{r}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, \quad \mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} \]
このとき、速度ベクトル \( \mathbf{v}(t) \) を求めよ。
速度ベクトル \( \mathbf{v}(t) \) は位置ベクトルを時間で微分で計算できます。
\[ \mathbf{v}(t) = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} = \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} t \\ \dfrac{d}{dt} t^2 \\ \dfrac{d}{dt} t^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \\ 3t^2 \end{pmatrix} \]
