ベクトルをスカラーで微分したときの公式の証明について

はるか

ベクトルの微分、何で微分すして何を微分しているのかに注意する必要がある。

ふゅか

確かにね！今回はベクトルをスカラーで微分したときの公式を見ていこう！

1. ベクトルをスカラーで微分

2. ベクトルをスカラーで微分したときの公式

外積はベクトルの次元が3になります。

3. 公式の証明

ふゅか

最初の「和の微分」だけど、要するに各成分を個別に微分すればOKだよね？

はるか

ベクトルの和の成分ごとに微分。

3.1. 和の微分

ベクトルも各成分ごとに微分するため、ベクトルの和を微分する場合も同様に成分ごとに適用できます。各成分を考えると、

$$ \mathbf{a}(t) = \begin{pmatrix} a_1(t) \\ a_2(t) \\ \vdots \\ a_n(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}(t) = \begin{pmatrix} b_1(t) \\ b_2(t) \\ \vdots \\ b_n(t) \end{pmatrix} $$

それぞれの成分に対して微分を適用すれば、

$$ \begin{align*} \dfrac{d}{dt} (\mathbf{a}(t) + \mathbf{b}(t)) &= \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} (a_1(t) + b_1(t)) \\ \dfrac{d}{dt} (a_2(t) + b_2(t)) \\ \vdots \\ \dfrac{d}{dt} (a_n(t) + b_n(t)) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} a_1(t) + \dfrac{d}{dt} b_1(t) \\ \dfrac{d}{dt} a_2(t) + \dfrac{d}{dt} b_2(t) \\ \vdots \\ \dfrac{d}{dt} a_n(t) + \dfrac{d}{dt} b_n(t) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} a_1(t) \\ \dfrac{d}{dt} a_2(t)\\ \vdots \\ \dfrac{d}{dt} a_n(t) \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} b_1(t) \\ \dfrac{d}{dt} b_2(t)\\ \vdots \\ \dfrac{d}{dt} b_n(t) \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{d}{dt} \mathbf{a}(t) + \dfrac{d}{dt} \mathbf{b}(t) \end{align*}$$

3.2. スカラー関数の積の微分

スカラー関数 $f(t)$ の微分を考慮しつつ、ベクトルの微分も成分ごとに行います。成分ごとに書くと、

$$ f(t) \mathbf{a}(t) = \begin{pmatrix} f(t) a_1(t) \\ f(t) a_2(t) \\ \vdots \\ f(t) a_n(t) \end{pmatrix} $$

積の微分法則を各成分に適用すると、

$$ \begin{align*}\dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} f(t) a_1(t) \\ f(t) a_2(t) \\ \vdots \\ f(t) a_n(t) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \dfrac{df}{dt} a_1(t) + f(t) \dfrac{d}{dt} a_1(t) \\ \dfrac{df}{dt} a_2(t) + f(t) \dfrac{d}{dt} a_2(t) \\ \vdots \\ \dfrac{df}{dt} a_n(t) + f(t) \dfrac{d}{dt} a_n(t) \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{df}{dt} \mathbf{a}(t) + f(t) \dfrac{d}{dt} \mathbf{a}(t) \end{align*} $$

3.3. 内積の微分

各成分を考えると、

$$ \mathbf{a}(t) = \begin{pmatrix} a_1(t) \\ a_2(t) \\ \vdots \\ a_n(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}(t) = \begin{pmatrix} b_1(t) \\ b_2(t) \\ \vdots \\ b_n(t) \end{pmatrix} $$

ベクトルの内積は次のように計算されます。

$$ \mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) = \sum_{i=1}^n a_i(t) b_i(t) $$

この内積に対して微分を適用します。積の微分法則により、

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dt} (\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)) &= \sum_{i=1}^n \left( \dfrac{d}{dt} a_i(t) b_i(t) + a_i(t) \dfrac{d}{dt} b_i(t) \right) \\ &= \sum_{i=1}^n  \dfrac{d}{dt} a_i(t) b_i(t) + \sum_{i=1}^n  a_i(t) \dfrac{d}{dt} b_i(t) \\ &= \dfrac{d}{dt} \mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t) \cdot \dfrac{d}{dt} \mathbf{b}(t) \end{align*}$$

ふゅか

内積の微分も、積の微分法則を使えばいいんだよね？

はるか

同じルール。成分ごとに考えて、各部分に積の微分を適用する。

3.4. 外積の微分（3次元ベクトルの場合）

ベクトル関数 \( \mathbf{a}(t) = [a_1(t), a_2(t), a_3(t)] \)、\( \mathbf{b}(t) = [b_1(t), b_2(t), b_3(t)] \) とします。ベクトルの外積 \( \mathbf{c}(t) = \mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) \) の各成分は次のようになります。

\[ \begin{align*} c_1(t) &= a_2(t)b_3(t) – a_3(t)b_2(t) \\ c_2(t) &= a_3(t)b_1(t) – a_1(t)b_3(t) \\ c_3(t) &= a_1(t)b_2(t) – a_2(t)b_1(t) \end{align*} \]

各成分を \( t \) で微分します。

(1) \( c_1(t) \) の微分

\[ \begin{align*} \frac{d}{dt}c_1(t) &= \frac{d}{dt}(a_2 b_3 – a_3 b_2) \\ &= \frac{da_2}{dt} b_3 + a_2 \frac{db_3}{dt} – \frac{da_3}{dt} b_2 – a_3 \frac{db_2}{dt}\\ &= \frac{da_2}{dt} b_3 + a_2 \frac{db_3}{dt} – \frac{da_3}{dt} b_2 – a_3 \frac{db_2}{dt} \\ &=\left( \frac{da_2}{dt} b_3 – \frac{da_3}{dt} b_2 \right) + \left( a_2 \frac{db_3}{dt} – a_3 \frac{db_2}{dt} \right) \end{align*} \]

(2) \( c_2(t) \) の微分

\[ \begin{align*} \frac{d}{dt}c_2(t) &= \frac{d}{dt}(a_3 b_1 – a_1 b_3) \\ &= \frac{da_3}{dt} b_1 + a_3 \frac{db_1}{dt} – \frac{da_1}{dt} b_3 – a_1 \frac{db_3}{dt} \\ &= \left( \frac{da_3}{dt} b_1 – \frac{da_1}{dt} b_3 \right) + \left( a_3 \frac{db_1}{dt} – a_1 \frac{db_3}{dt} \right) \end{align*} \]

(3) \( c_3(t) \) の微分

\[ \begin{align*} \frac{d}{dt}c_3(t) &= \frac{d}{dt}[a_1 b_2 – a_2 b_1] \\ &= \frac{da_1}{dt} b_2 + a_1 \frac{db_2}{dt} – \frac{da_2}{dt} b_1 – a_2 \frac{db_1}{dt} \\ &=\left( \frac{da_1}{dt} b_2 – \frac{da_2}{dt} b_1 \right) + \left( a_1 \frac{db_2}{dt} – a_2 \frac{db_1}{dt} \right) \end{align*} \]

ここで、右辺を計算して、各成分と一致するか確認します。

(a) \( \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b}(t) \) の計算

その成分は以下の通りです。

• 第一成分: \[ \left( \frac{da_2}{dt} b_3 – \frac{da_3}{dt} b_2 \right) \]
• 第二成分: \[ \left( \frac{da_3}{dt} b_1 – \frac{da_1}{dt} b_3 \right) \]
• 第三成分: \[ \left( \frac{da_1}{dt} b_2 – \frac{da_2}{dt} b_1 \right) \]

(b) \( \mathbf{a}(t) \times \frac{d\mathbf{b}}{dt} \) の計算

その成分は以下の通りです。

• 第一成分: \[ \left( a_2 \frac{db_3}{dt} – a_3 \frac{db_2}{dt} \right) \]
• 第二成分: \[ \left( a_3 \frac{db_1}{dt} – a_1 \frac{db_3}{dt} \right) \]
• 第三成分: \[ \left( a_1 \frac{db_2}{dt} – a_2 \frac{db_1}{dt} \right) \]

(c) (a)と(b)の和

各成分を加算します。

• 第一成分: \[ \left( \frac{da_2}{dt} b_3 – \frac{da_3}{dt} b_2 \right) + \left( a_2 \frac{db_3}{dt} – a_3 \frac{db_2}{dt} \right) \] これは \( \frac{d}{dt}c_1(t) \) に一致します。
• 第二成分: \[ \left( \frac{da_3}{dt} b_1 – \frac{da_1}{dt} b_3 \right) + \left( a_3 \frac{db_1}{dt} – a_1 \frac{db_3}{dt} \right) \] これは \( \frac{d}{dt}c_2(t) \) に一致します。
• 第三成分: \[ \left( \frac{da_1}{dt} b_2 – \frac{da_2}{dt} b_1 \right) + \left( a_1 \frac{db_2}{dt} – a_2 \frac{db_1}{dt} \right) \] これは \( \frac{d}{dt}c_3(t) \) に一致します。

以上より、

\[ \frac{d}{dt}(\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t))= \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t) \times \frac{d\mathbf{b}}{dt} \]

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