線形空間・ベクトル空間の定義・具体例・多項式・数列について

1. 線形空間とは

2. 線形空間の例

2.1. \( n \) 次元の実数ベクトルの集合

1.任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \)、\( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \)、\( \mathbf{w} = (w_1, w_2, \ldots, w_n) \) に対して、
\[ \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (u_1, u_2, \ldots, u_n) + ((v_1 + w_1), (v_2 + w_2), \ldots, (v_n + w_n)) \]

\[ = (u_1 + (v_1 + w_1), u_2 + (v_2 + w_2), \ldots, u_n + (v_n + w_n)) \]

\[ = (u_1 + v_1 + w_1, u_2 + v_2 + w_2, \ldots, u_n + v_n + w_n) \]

\[ = ((u_1 + v_1) + w_1, (u_2 + v_2) + w_2, \ldots, (u_n + v_n) + w_n) \]

\[ = ((u_1 + v_1), (u_2 + v_2), \ldots, (u_n + v_n)) + (w_1, w_2, \ldots, w_n) \]

$$= (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} $$

よって、1が成立します。

2.任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \)、\( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \)に対して、

\[\mathbf{u} + \mathbf{v}= (u_1, u_2, \ldots, u_n) +(v_1, v_2, \ldots, v_n) \]

$$=((u_1 + v_1), (u_2 + v_2), \ldots, (u_n + v_n))$$

$$=((v_1+u_1 ), ( v_2+u_2), \ldots, (v_n+u_n))$$

$$(v_1, v_2, \ldots, v_n)+(u_1, u_2, \ldots, u_n) = \mathbf{v}+\mathbf{u}$$

よって、2が成立します。

3. \( \mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0) \)として、任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) に対して、

\[ \mathbf{u} + \mathbf{0} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) + (0, 0, \ldots, 0)\]

\[= (u_1 + 0, u_2 + 0, \ldots, u_n + 0) \]

\[= (u_1, u_2, \ldots, u_n) = \mathbf{u} \]

が成り立つ。

4.任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) に対して、 \( -\mathbf{u} = (-u_1, -u_2, \ldots, -u_n) \)は、

\[ \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = (u_1, u_2, \ldots, u_n) + (-u_1, -u_2, \ldots, -u_n)\]

$$= (u_1 – u_1, u_2 – u_2, \ldots, u_n – u_n)$$

\[= (0, 0, \ldots, 0) = \mathbf{0} \]

が成り立ちます。

5. 任意のスカラー \( a, b \) とベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) に対して、

\[ (a + b)\mathbf{u} = ((a + b)u_1, (a + b)u_2, \ldots, (a + b)u_n) \]

\[ = (au_1 + bu_1, au_2 + bu_2, \ldots, au_n + bu_n)\]

\[= (au_1, au_2, \ldots, au_n) + (bu_1, bu_2, \ldots, bu_n) = a\mathbf{u} + b\mathbf{u} \]

が成り立ちます。

6. 任意のスカラー \( a \) とベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \)、\( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \) に対して、

\[ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a(u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n)\]

\[= (a(u_1 + v_1), a(u_2 + v_2), \ldots, a(u_n + v_n)) \]

\[ = (a u_1 + a v_1, a u_2 + a v_2, \ldots, a u_n + a v_n)\]

\[= (a u_1, a u_2, \ldots, a u_n) + (a v_1, a v_2, \ldots, a v_n) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} \]

が成り立ちます。

7. 任意のスカラー \( a, b \) とベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) に対して、

\[ (ab)\mathbf{u}= ((ab) u_1, (ab) u_2, \ldots, (ab) u_n)\]

$$= (a(b u_1), a(b u_2), \ldots, a(b u_n))$$

\[= a(b u_1, b u_2, \ldots, b u_n)  = a(b\mathbf{u}) \]

が成り立ちます。

8. 任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) に対して、

\[ 1\mathbf{u} = (1 u_1, 1 u_2, \ldots, 1 u_n) = (u_1, u_2, \ldots, u_n) = \mathbf{u} \]

が成り立ちます。

以上より、\( n \) 次元の実数ベクトルの集合 \( \mathbb{R}^n \) は、線形空間（ベクトル空間）の公理をすべて満たしているため、線形空間であることが確認されました。

2.2. 実数列全体の集合

数列の集合 \(\mathbb{R}^\mathbb{N} \) に対して線形空間の性質が成り立つかを確認する。

1.任意の数列 \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}\) に対して、
\[ \{a_n\} + (\{b_n\} + \{c_n\})\]

\[= \{a_n\} + \{b_n + c_n\}\]

\[= \{a_n + (b_n + c_n)\}\]

\[= \{a_n + b_n + c_n\}\]

$$= \{(a_n + b_n) + c_n\}$$

$$=\{a_n + b_n\} + \{c_n\} $$

\[=(\{a_n\} + \{b_n\}) + \{c_n\} \]

が成り立ちます。

2.任意の数列 \(\{a_n\}, \{b_n\} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}\) に対して、
\[\{a_n\} + \{b_n\}\]

$$=\{a_n+b_n\}$$

$$=\{b_n+a_n\}$$

$$=\{b_n\} + \{a_n\}$$

3. すべての成分が 0 である数列 \(\{0_n\}\) と任意の数列 \(\{a_n\}\) に対して、
\[ \{a_n\} + \{0_n\} = \{a_n + 0_n\} = \{a_n\} \]

が成り立ちます。

4. 任意の数列 \(\{a_n\}\) に対して、 \(\{-a_n\}\) とすると、
\[ \{a_n\} + \{-a_n\} = \{a_n – a_n\} = \{0_n\} \]

が成り立ちます。

5. 任意のスカラー \(k, m\) と数列 \(\{a_n\}\) に対して、
\[ (k + m)\{a_n\} = \{(k + m)a_n\}\]

\[= \{ka_n + ma_n\}\]

\[= k\{a_n\} + m\{a_n\} \]

が成り立ちます。

6. 任意のスカラー \(k\) と数列 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) に対して、
\[ k(\{a_n\} + \{b_n\}) = k\{a_n + b_n\}\]

$$= \{k(a_n + b_n)\}$$

\[= \{ka_n + kb_n\}  \]

\[=k\{a_n\} + k\{b_n\}\]

が成り立ちます。

7. 任意のスカラー \(k, m\) と数列 \(\{a_n\}\) に対して、

$$(km)\{a_n\}= \{(km)a_n\} $$

$$=\{k(ma_n)\} $$

$$= k\{ma_n\}$$

\[ = k(m\{a_n\}) \]

が成り立ちます。

8. スカラー\(1\) に対して、任意の数列 \(\{a_n\}\) に対して、
\[ 1\{a_n\} = \{1 \cdot a_n\} = \{a_n\} \]

が成り立ちます。

以上のことから、定義された演算によって、数列の集合 \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) がベクトル空間の公理をすべて満たしていることが確認できます。

2.3. 多項式全体の集合

1.任意の多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \)、\( q(x) = b_0 + b_1x + \cdots + b_nx^n \)、および \( r(x) = c_0 + c_1x + \cdots + c_nx^n \) に対して、

\[p(x) + (q(x) + r(x) \]

\[= p(x) + \{(b_0 + c_0) + (b_1 + c_1)x + \cdots + (b_n + c_n)x^n \}\]

\[ = \{a_0 + (b_0 + c_0)\} + \{a_1 + (b_1 + c_1)\}x + \cdots + \{a_n + (b_n + c_n)\}x^n \]

\[= \{(a_0 + b_0) + c_0\} + \{(a_1 + b_1) + c_1\}x + \cdots + \{(a_n + b_n) + c_n\}x^n \]

\[= (p(x) + q(x)) + r(x)\]

2.任意の2つの多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n \) と \( q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_nx^n \) に対して、

\[ p(x) + q(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2 + b_2)x^2 + \cdots + (a_n + b_n)x^n \]

\[ = (b_0 + a_0) + (b_1 + a_1)x + (b_2 + a_2)x^2 + \cdots + (b_n + a_n)x^n \]

\[ = q(x) +p(x) \]

3.\( 0(x) \) はすべての係数が 0 の多項式として、任意の多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \) に対して、

\[ p(x) + 0(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n + 0 = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n = p(x) \]

4.任意の多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \) に対して、 \( -p(x) \) は次のようになります。

\[ p(x) + (-p(x)) = \left(a_0 + (-a_0)\right) + \left(a_1 + (-a_1)\right)x + \cdots + \left(a_n + (-a_n)\right)x^n = 0(x) \]

5. 任意のスカラー \( a, b \) と多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \) に対して、

\[ (a + b)p(x) = (a + b)\left(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\right) \]

\[ = \left((a + b)a_0\right) + \left((a + b)a_1\right)x + \cdots + \left((a + b)a_n\right)x^n \]

\[ = \left(aa_0 + ba_0\right) + \left(aa_1 + ba_1\right)x + \cdots + \left(aa_n + ba_n\right)x^n \]

\[ = \left(aa_0 + aa_1x + \cdots + aa_nx^n\right) + \left(ba_0 + ba_1x + \cdots + ba_nx^n\right) \]

\[ = a p(x) + b p(x) \]

6. 任意のスカラー \( c \) と多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \)、\( q(x) = b_0 + b_1x + \cdots + b_nx^n \) に対して、

\[ c(p(x) + q(x)) = c\left((a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + \cdots + (a_n + b_n)x^n\right) \]

\[ = \left(c(a_0 + b_0)\right) + \left(c(a_1 + b_1)\right)x + \cdots + \left(c(a_n + b_n)\right)x^n \]

\[ = \left(ca_0 + cb_0\right) + \left(ca_1 + cb_1\right)x + \cdots + \left(ca_n + cb_n\right)x^n \]

\[ = c\left(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\right) + c\left(b_0 + b_1x + \cdots + b_nx^n\right) = c p(x) + c q(x) \]

7. 任意のスカラー \( a, b \) と多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \) に対して、

\[ a(b p(x)) = a\left(b\left(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\right)\right) \]

\[ = a\left(ba_0 + ba_1x + \cdots + ba_nx^n\right) = \left(a(ba_0)\right) + \left(a(ba_1)\right)x + \cdots + \left(a(ba_n)\right)x^n \]

\[ = \left((ab)a_0\right) + \left((ab)a_1\right)x + \cdots + \left((ab)a_n\right)x^n = (ab)p(x) \]

8.スカラーの単位元 \( 1 \) に対して、任意の多項式 \( p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \) に対して、

\[ 1 \cdot p(x) = 1 \cdot \left(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\right) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n = p(x) \]

以上のことから、\( P \) はすべての線形空間の公理を満たしており、多項式全体の集合 \( P \) は線形空間（ベクトル空間）であることが確認されました。

2.4. m×n行列の集合

行列 \( A \) の成分を \( A_{ij} = a_{ij} \) とします。ただし、$1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$とします。

1. 行列\( A, B,C \in V \) の$(i,j)$の要素に対して、

\[ A_{ij} + (B_{ij} + C_{ij}) = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) \]

\[ =a_{ij} + b_{ij}+ c_{ij} \]

\[ =(a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} \]

\[ =(A_{ij} + B_{ij}) + C_{ij} \]

これは \( i, j \) について成り立つため、行列A,B,Cに成り立つことがわかります。

2.任意の \( A, B \in V \) に対して、

\[ (A_{ij} + B_{ij})= a_{ij} + b_{ij} \]

$$=b_{ij} + a_{ij}$$

\[ =(B_{ij} + A_{ij}) \]

これは \( i, j \) について成り立たつめ、行列A,Bでも成り立ちます。

3.行列 \( \mathbf{0} \in V \) を、すべての成分が0の行列とします。

\[ \mathbf{0}_{ij} = 0 \]

任意の \( A \in V \) に対して、

\[ (A_{ij} + \mathbf{0}_{ij}) = a_{ij} + 0 = a_{ij} \]

4.任意の \( A \in V \) に対して、$(-A_{ij})= -a_{ij}$とすると、

\[ (A_{ij} + (-A_{ij})) = a_{ij} + (-a_{ij}) = 0 \]

5.任意のスカラー \( a, b \in \mathbb{R} \) と \( A \in V \) に対して、

\[ (a + b)A_{ij} = (a + b) a_{ij} \]

\[ =a \cdot a_{ij} + b \cdot a_{ij} \]

\[ =a A_{ij} + b B_{ij} \]

6.任意のスカラー \( a \in \mathbb{R} \) と \( A, B \in V \) に対して、

\[ a(A + B)_{ij} = a \cdot (a_{ij} + b_{ij}) \]

\[= a \cdot a_{ij} + a \cdot b_{ij} \]

\[= a \cdot A_{ij} + a \cdot B_{ij} \]

7.任意のスカラー \( a, b \in \mathbb{R} \) と \( A \in V \) に対して、

\[ (ab)A_{ij} = (ab) \cdot a_{ij} \]

\[ = a \cdot (b \cdot a_{ij}) =a(bA_{ij} ) \]

8.任意の \( A \in V \) に対して、

\[ (1A_{ij}) = 1 \cdot a_{ij}= a_{ij}=A_{ij} \]