ヴィエトの無限積とオイラーの公式の意味と証明について

はるか

ヴィエトの無限積、知ってる？

ふゅか

もちろん！\(\pi\) を表す有名な無限積よね！\(\frac{2}{\pi}\) の形になってるのが特徴的！

1. ヴィエトの無限積とは

無限に続く平方根の積によって、\(\frac{2}{\pi}\) を表現しているのが大きな特徴です。これを両辺逆数にすると、\(\pi\) は

\[ \pi = 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \times \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \times \cdots \]

というかたちで無限積として表せることになります。

2. 公式の見方：半角公式との関連

ヴィエトの公式は、三角関数の半角公式と深く関係しています。

三角関数には以下のような2倍角の公式があります。

\[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta), \quad \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) – 1. \]

また、半角公式

\[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 – \cos(\theta)}{2}}, \quad \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}} \]

を繰り返し適用していくと、\(\theta\) がどんどん小さくなっていき、そのときの三角比の積に関する式が \(\pi\) の式として収束します。

3. 証明

ヴィエトの公式を証明を行うために、オイラーの公式を準備として証明を行います。

3.1. オイラーの公式の証明

2倍角の公式を繰り返して

\[ \begin{align*} &\sin(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= 2^2 \sin\left(\frac{x}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\ &= 2^n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) \end{align*} \]

ここで、\( n \to \infty \) の極限を考えます。

\[\begin{align*}& \lim_{n\to\infty} 2^n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) \\ &=x\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{x} \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) \\ &=x\lim_{n\to\infty} \frac{ \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) }{\frac{x}{2^n}}\\ &= x \end{align*}\]

したがって、

\[ \lim_{n\to\infty} 2^n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) = \sin  x \]

このとき、左辺の第一項の極限が \( x \) に収束するため、

\[ \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{\sin x}{x} \]

という式が得られます。

3.2. ヴィエトの無限積の公式

ここで、\( x = \frac{\pi}{2} \) を代入すると、

\[ \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right) = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \]

\(\cos\) の値を求めるために、半角の公式を使います。

\[ \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \]

この関係を繰り返し適用すると、\(\cos\) の無限積がヴィエトの公式の形に収束していくことが確認できます。