ウォリス積分の偶奇・計算問題・極限について
1. ウォリス積分とは
1.1. 偶数 \(n\) の場合
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{(n-1)!! \cdot \frac{\pi}{2}}{n!!} \]
ここで、「\( !! \)」は二重階乗を表します。二重階乗とは、元の数の同じ偶奇性を持つすべての整数の積を意味します。例えば、\(n\) が偶数の場合、\(n!!\) は \(n \times (n-2) \times \ldots \times 2\) となります。
1.2. 奇数 \(n\) の場合
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \]
この場合も、二重階乗を用いた式が得られますが、分子と分母に異なる因子が含まれているため、\(\frac{\pi}{2}\) の因子がなくなります。
2. 漸化式
2.1. 偶数 \(n\) の場合
偶数 \(n = 2m\) とおきます。このとき、次の積分を考えます。
\[ I_{2m} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m} x \, dx \]
部分積分を行うと、
\[ I_{2m} = \left[-\sin^{2m-1} x \cdot \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2m-1) \sin^{2m-2} x \cdot \cos^2 x \, dx \]
さらに、\(\cos^2 x = 1 – \sin^2 x\) を使って次のように変形できます。
\[ I_{2m} = (2m-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m-2} x \, dx – (2m-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m} x \, dx \]
ここで、\( I_{2m-2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m-2} x \, dx \) とおくと、次の関係式が得られます：
\[ I_{2m} = (2m-1) \cdot I_{2m-2} – (2m-1) \cdot I_{2m} \]
したがって、\(I_{2m}\) について解くと、
\[ I_{2m} + (2m-1) \cdot I_{2m} = (2m-1) \cdot I_{2m-2} \]
\[ I_{2m} \cdot (1 + 2m-1) = (2m-1) \cdot I_{2m-2} \]
\[ I_{2m} = \frac{2m-1}{2m} \cdot I_{2m-2} \]
また、m=0のとき、
\[ I_{0} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{0} x \, dx \]
\[=[x ]_0^{\frac{\pi}{2}}\]
\[=\frac{\pi}{2}\]
すなわち、
\[ I_{2m} = \frac{(2m-1)(2m-3)\dotsm 1}{(2m)(2m-2)\dotsm 2} \cdot I_0 = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \]
\[ I_{2m} = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \frac{\pi}{2}\]
2.2. 奇数 \(n\) の場合
奇数 \(n = 2m+1\) の場合を考えます。この場合も同様に、
\[ I_{2m+1} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1} x \, dx \]
として、同様に部分積分を適用します。このとき、
\[ I_{2m+1} = \left[-\sin^{2m} x \cdot \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2m \sin^{2m-1} x \cdot \cos^2 x \, dx \]
以下のようになります。
\[ I_{2m+1} = \frac{2m}{2m+1} \cdot I_{2m-1} \]
また、m=0のとき、
\[ I_{1} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{1} x \, dx \]\[=[-\cos x ]_0^{\frac{\pi}{2}}\]\[=1\]
すなわち、
\[
I_{2m+1} = \frac{(2m)(2m+1)\dotsm 2}{(2m-2)(2m-1)\dotsm 3} \cdot I_1 = \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} \cdot 1
\]
\[ I_{2m+1} = \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} \]
3. ウォリス積分を利用した計算問題
3.1. 問題 1
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) \, dx = \frac{3!! \cdot \frac{\pi}{2}}{4!!} = \frac{3 \cdot \frac{\pi}{2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\pi}{16}\]
3.2. 問題 2
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = \frac{2!!}{3!!} = \frac{2}{3}\]
3.3. 問題 3
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5(x) \, dx = \frac{4!!}{5!!} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}\]
3.4. 問題 4
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6(x) \, dx = \frac{5!! \cdot \frac{\pi}{2}}{6!!} = \frac{5 \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{2}}{6 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{15\pi}{96} = \frac{5}{32}\pi\]
3.5. 問題 5
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7(x) \, dx = \frac{6!!}{7!!} = \frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}\]
4. 極限とウォリス積分の例題
(1) \( \displaystyle\lim_{m \to \infty} \frac{I_{2m+1}}{I_{2m}} \)を求めなさい。
(2)$ \displaystyle\lim_{m \to \infty}\sqrt{2m+1}I_{2m+1}$を求めなさい。
(1)
ここで、\( 0 < \sin \theta < 1 \) であるため、\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) の範囲で以下の不等式が成り立ちます。
\[ \sin^{m+1} \theta < \sin^m\theta \]
この両辺を \( \theta \) について積分すると、
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m+1} \theta \, d\theta < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m \theta \, d\theta \]
すなわち、
\[ I_{m+1} < I_m \]
\( I_{m+1} < I_m \)より
\[ I_{2m+2} < I_{2m+1} < I_{2m} \]
$I_{2m}>0$で不等式を割ると、
\[ \frac{I_{2m+2}}{I_{2m}} < \frac{I_{2m+1}}{I_{2m}} < 1 \]
次に、漸化式を利用します。漸化式$I_{2m+1}=\dfrac{2m}{2m+1}I_{2m}$より、
\[ \dfrac{I_{2m+1}}{I_{2m}} = \frac{2m}{2m+1} \]
これを利用して、
\[ \frac{2m}{2m+1}< \frac{I_{2m}}{I_{2m-1}} < 1 \]
ここで、\( m \to \infty \) とすると、\( \frac{2m}{2m+1} \to 1 \) であるため、挟みうちの原理より、
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{I_{2m+1}}{I_{2m}} = 1 \]
(2)与えられた極限の式を変形すると、$$ \displaystyle\lim_{m \to \infty}\sqrt{2m+1}I_{2m+1}$$
$$ =\displaystyle\lim_{m \to \infty}\sqrt{(2m+1)I^2_{2m+1}} $$
$$ =\displaystyle\lim_{m \to \infty}\sqrt{(2m+1)I_{2m+1}I_{2m}\frac{I_{2m+1}}{I_{2m}} } $$
$ I_{2m+1} = \displaystyle\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} $、$ I_{2m} = \displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \frac{\pi}{2}$ (漸化式の部分を参照)より、
$$I_{2m}I_{2m+1}= \displaystyle\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}\displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \frac{\pi}{2}$$
$$= \displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m+1)!!} \frac{\pi}{2}$$
$$= \displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m+1)(2m-1)!!} \frac{\pi}{2}$$
$$= \displaystyle\frac{1}{(2m+1)} \frac{\pi}{2}$$
したがって、極限の部分に代入すると、
$$ =\displaystyle\lim_{m \to \infty}\sqrt{(2m+1)\displaystyle\frac{1}{(2m+1)} \frac{\pi}{2} } $$
$$ =\sqrt{\frac{\pi}{2} } $$
