ウォリスの公式の定義・証明・三角関数の無限乗積展開について
1. ウォリスの公式とは
\[ \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n+1)(2n-1)} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2 – 1} \]
$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n+1)(2n-1)}$ を具体的に書くと次のようになります。
\[ \frac{\pi}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n)^2}{(1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1))(3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times (2n+1))} \]
これを二重階乗で表すと、
\[ \frac{\pi}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} \]
2. ウォリスの公式の証明
2.1. 漸化式を利用した証明
ウォリス積分を利用します。
ここで、偶奇を分けてウォリス積分は次のようになります。
$$ I_{2m+1} = \displaystyle\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} $$ $$ I_{2m} = \displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \frac{\pi}{2}$$
ここで、\( 0 < \sin \theta < 1 \) であるため、\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) の範囲で以下の不等式が成り立ちます。
\[ \sin^{m+1} \theta < \sin^m\theta \]
この両辺を \( \theta \) について積分すると、
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m+1} \theta \, d\theta < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m \theta \, d\theta \]
すなわち、
\[ I_{m+1} < I_m \]
\( I_{m+1} < I_m \)より
\[ I_{2m+2} < I_{2m+1} < I_{2m} \]
不等式を$ \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}$で掛けると、
\[ \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+2} < \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+1} < \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m} \]
不等式の左の部分\( \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!} I_{2m+2}\) の計算を行います。
\[ \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+2} = \left(\frac{(2m+1)!!}{(2m+2)!!} \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!} \]
分母と分子を整理すると、
\[ \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+2} = \frac{(2m+1)!! \cdot (2m)!!}{(2m+2)!! \cdot (2m-1)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \]
\[ = \frac{(2m+1)\cdot(2m-1)!! \cdot (2m-2)!!}{2m\cdot (2m-2)!! \cdot (2m-1)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \]
\[ = \frac{(2m+1)}{ 2m} \cdot \frac{\pi}{2} \]
次に不等式の右の部分\( \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m}\) の計算を行います。
$$\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m}=\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!} \left( \displaystyle\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \frac{\pi}{2}\right)= \frac{\pi}{2}$$
したがって、計算結果をまとめると次のようになります。
\[ \frac{(2m+1)}{ 2m} \cdot \frac{\pi}{2} < \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+1} <\frac{\pi}{2}\]
$m \to \infty$とすると、はさみ打ちの原理より$\frac{\pi}{2}$に収束する。
$$\lim_{m \to \infty} \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}I_{2m+1}=\lim_{m \to \infty} \frac{((2m)!!)^2}{(2m-1)!!(2m+1)!!}=\frac{\pi}{2}$$
2.2. 三角関数の無限乗積展開を利用した証明
$\sin x$ の無限乗積展開は次のように与えられます。 \[ \sin x = x \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 – \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right) \] ここで、\( x = \frac{\pi}{2} \) とおくと、 \[ \sin \frac{\pi}{2} = 1 = \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 – \frac{1}{4n^2}\right) \]
上記の式は次の形に書き換えられます。 \[ 1 = \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{4n^2} \] つまり、 \[ \frac{2}{\pi} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{4n^2} \]
よって、ウォリスの公式が成り立つことがわかる。
