ワイブル分布の意味と性質について
1. ワイブル分布とは？
ワイブル分布（Weibull distribution）は、信頼性工学や統計学で頻繁に使用される確率分布の一つです。特に、製品の寿命や故障率をモデル化する際に便利であり、時間や期間に関連したデータの分析に適しています。この確率分布は故障の間隔の確率分布として利用されます。
1.1. ワイブル分布の確率密度関数
ワイブル分布の確率密度関数は次のように定義されます。
\[ f(t; k, \lambda) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} \]
ここで：
- \( t \): 時間または観測値
- \( k \): 形状パラメータ（ワイブル係数）
- \( \lambda \): スケールパラメータ
2. ワイブル分布の性質
2.1. 期待値
\( \mu \) は確率密度関数を用いて以下の式で求められます。
\[ \mu = \int_{0}^{\infty} t f(t; k, \lambda) \, dt \]
ワイブル分布の確率密度関数を代入すると：
\[ \mu = \int_{0}^{\infty} t \cdot \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \, dt \]
変数変換を行います。新しい変数 \( x = \left( \frac{t}{\lambda} \right)^k \) を導入すると、
\[ t = \lambda x^{\frac{1}{k}}, \quad dt = \frac{\lambda}{k} x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx \]
$\frac{k}{\lambda} dt = x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx$となるので、これを式に代入して、整理すると
\[\begin{align*} \mu &= \int_{0}^{\infty} t \cdot \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \, \frac{k}{\lambda}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \lambda x^{\frac{1}{k}} \cdot \left( \frac{ \lambda x^{\frac{1}{k}}}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-x} \, x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx\\ &= \lambda \int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{k}}\cdot x^{\frac{k-1}{k}} \cdot x^{\frac{1-k}{k} } e^{-x} \, dx \\ &= \lambda \int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{k}} e^{-x} \, dx \end{align*}\]
この積分は、ガンマ関数 \( \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} \, dx \) の性質を用いると
\[ \mu = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right) \]
2.2. ワイブル係数 \( k \) による分布の性質
2.2.1. \( k = 1 \)：指数分布
ワイブル分布の確率密度関数に \( k = 1 \) を代入すると：
\[ f(t; 1, \lambda) = \frac{1}{\lambda} e^{-t / \lambda}, \quad t \geq 0 \]
2.2.2. \( k= 2 \)：レイリー分布
ワイブル分布の確率密度関数に \(k = 2 \) を代入すると：
\[ f(t; 2, \lambda) = \frac{2}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right) e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^2}, \quad t \geq 0 \]
これはレイリー分布の確率密度関数と一致します。
2.3. 信頼度 \( R(t; k, \lambda) \)
信頼度は次のようになります。
\[ R(t; k, \lambda) = \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]
信頼度 \( R(t; k, \lambda) \) は、時間 \( t \) より後に故障が発生する確率を表します。これは、生存関数とも呼ばれ、次のように定義されます：
\[ R(t; k, \lambda) = P(T > t) \]
ワイブル分布の累積分布関数 \( F(t; k, \lambda) \) は、確率密度関数 \( f(t; k, \lambda) \) を 0 から \( t \) まで積分することで求められます：
\[ F(t; k, \lambda) = \int_{0}^{t} f(x; k, \lambda) \, dx \]
確率密度関数 \( f(x; k, \lambda) \) を代入すると、
\[ f(x; k, \lambda) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{x}{\lambda} \right)^k} \]
これを積分すると：
\[ F(t; k, \lambda) = \int_{0}^{t} \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{x}{\lambda} \right)^k} \, dx \]
変数変換 \( u = \left( \frac{x}{\lambda} \right)^k \) を用いると、次のように簡略化されます：
- \( u = \left( \frac{x}{\lambda} \right)^k \) より、\( x = \lambda u^{1/k} \)
- 微分 \( dx = \frac{\lambda}{k} u^{1/k - 1} \, du \)
これを積分式に代入すると：
\[\begin{align*} F(t; k, \lambda) &= \int_{0}^{\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} e^{-u} \, du \\ & = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \end{align*} \]
信頼度は、
\[ R(t; k, \lambda) = 1 - F(t; k, \lambda) \]
\( F(t; k, \lambda) \) を代入すると：
\[ R(t; k, \lambda) = 1 - \left[ 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \right] \]
これを整理すると：
\[ R(t; k, \lambda) = \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]
2.4. 不信頼度（累積故障率） \( F(t; k, \lambda) \)
不信頼度は次のようになります。
\[ F(t; k, \lambda) = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]
不信頼度 \( F(t; k, \lambda) \) は、時間 \( t \) までに故障する確率を表し、次のように定義されます：
\[ F(t; k, \lambda) = 1 - R(t; k, \lambda) \]
したがって、
\[ F(t; k, \lambda) = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]
2.5. 故障率 \( \lambda(t) \)
故障率は次のようになります。
\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda^k} t^{k-1} \]
故障率 \( \lambda(t) \) は$R(t)$ givenのもとで条件付き確率（ただし、実際には確率ではない）で、次のように定義されます。
\[ \lambda(t) = \frac{f(t; k, \lambda)}{R(t; k, \lambda)} \]
したがって、信頼度と確率密度関数を代入します。
\[ \lambda(t) = \frac{\frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k}}{\exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\}} \]
指数関数の部分 \( e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \) が分子と分母で約分され、以下のようになります
\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} \]
整理すると
\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda^k} t^{k-1} \]
2.6. 故障率の分類
故障率の傾向は形状パラメータ \( k \) に依存し、以下のように分類されます。
- \( k < 1 \): 故障率が時間とともに減少します（初期的な故障）。製造上の欠陥などが原因で、最初は故障率が高く、時間とともに低下する傾向があります。
- \( k = 1 \): 故障率が一定です（偶発的な故障）。この場合、故障率は \( \lambda(t) = \frac{1}{\lambda} \) のように時間 \( t \) に依存しません。
- \( k > 1 \): 故障率が時間とともに増加します（摩耗的な故障）。部品や機械の摩耗が進むことで、故障率が上昇します。
この故障率の3つの分布はバスタブ曲線を思い出しますね。
3. ワイブル分布の応用例
- 製品寿命の予測
電子機器、機械部品などの耐久性テストにおいて、ワイブル分布を使うことで、どの程度の期間でどの割合が故障するかを予測できます。 - 信頼性解析
工場や製造業で、製品の保証期間を設定する際、製品の故障率を評価するために使用されます。
