更新:2024/12/20

ワイブル分布の意味と性質について

はるか
はるか
ワイブル分布って、信頼性工学とかでよく使われる分布よね。製品の寿命とか故障率をモデル化するのに便利。
ふゅか
ふゅか
そうそう!たとえば、家電がどれくらい持つのかを調べるときにも使われるわね。

1. ワイブル分布とは?

ワイブル分布(Weibull distribution)は、信頼性工学や統計学で頻繁に使用される確率分布の一つです。特に、製品の寿命や故障率をモデル化する際に便利であり、時間や期間に関連したデータの分析に適しています。この確率分布は故障の間隔の確率分布として利用されます。

1.1. ワイブル分布の確率密度関数

ワイブル分布の確率密度関数は次のように定義されます。

\[ f(t; k, \lambda) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} \]

ここで:

  • \( t \): 時間または観測値
  • \( k \): 形状パラメータ(ワイブル係数)
  • \( \lambda \): スケールパラメータ

2. ワイブル分布の性質

ふゅか
ふゅか
そういえば、ワイブル分布の期待値ってどうなるんだっけ?
はるか
はるか
ガンマ関数を使う。

2.1. 期待値

期待値$\mu$は次のように計算されます。

\[ \mu = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{m}\right)\]

これは、ワイブル分布が製品の故障の分布であると解釈したとき、平均故障間隔を表します。

\( \mu \) は確率密度関数を用いて以下の式で求められます。

\[ \mu = \int_{0}^{\infty} t f(t; k, \lambda) \, dt \]

ワイブル分布の確率密度関数を代入すると:

\[ \mu = \int_{0}^{\infty} t \cdot \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \, dt \]

変数変換を行います。新しい変数 \( x = \left( \frac{t}{\lambda} \right)^k \) を導入すると、

\[ t = \lambda x^{\frac{1}{k}}, \quad dt = \frac{\lambda}{k} x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx \]

$\frac{k}{\lambda}  dt = x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx$となるので、これを式に代入して、整理すると

\[\begin{align*} \mu &= \int_{0}^{\infty} t \cdot  \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \, \frac{k}{\lambda}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \lambda x^{\frac{1}{k}} \cdot  \left( \frac{ \lambda x^{\frac{1}{k}}}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-x} \, x^{\frac{1}{k} - 1} \, dx\\ &= \lambda \int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{k}}\cdot x^{\frac{k-1}{k}} \cdot x^{\frac{1-k}{k} } e^{-x} \, dx \\ &= \lambda \int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{k}} e^{-x} \, dx \end{align*}\]

この積分は、ガンマ関数 \( \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} \, dx \) の性質を用いると

\[ \mu = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right) \]

2.2. ワイブル係数 \( k \) による分布の性質

はるか
はるか
あと、形状パラメータ kの値によって、分布の形が変わるのも重要。
ふゅか
ふゅか
そうだよね!$k=1$だと指数分布、$k=2$ だとレイリー分布になるんだっけ?

2.2.1.  \( k = 1 \):指数分布

ワイブル分布の確率密度関数に \( k = 1 \) を代入すると:

\[ f(t; 1, \lambda) = \frac{1}{\lambda} e^{-t / \lambda}, \quad t \geq 0 \]

これは指数分布確率密度関数と一致します。

2.2.2.  \( k= 2 \):レイリー分布

ワイブル分布の確率密度関数に \(k = 2 \) を代入すると:

\[ f(t; 2, \lambda) = \frac{2}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right) e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^2}, \quad t \geq 0 \]

これはレイリー分布の確率密度関数と一致します。

2.3. 信頼度 \( R(t; k, \lambda) \)

信頼度は次のようになります。

\[ R(t; k, \lambda) = \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]

信頼度 \( R(t; k, \lambda) \) は、時間 \( t \) より後に故障が発生する確率を表します。これは、生存関数とも呼ばれ、次のように定義されます:

\[ R(t; k, \lambda) = P(T > t) \]

ワイブル分布の累積分布関数 \( F(t; k, \lambda) \) は、確率密度関数 \( f(t; k, \lambda) \) を 0 から \( t \) まで積分することで求められます:

\[ F(t; k, \lambda) = \int_{0}^{t} f(x; k, \lambda) \, dx \]

確率密度関数 \( f(x; k, \lambda) \) を代入すると、

\[ f(x; k, \lambda) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{x}{\lambda} \right)^k} \]

これを積分すると:

\[ F(t; k, \lambda) = \int_{0}^{t} \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{x}{\lambda} \right)^k} \, dx \]

変数変換 \( u = \left( \frac{x}{\lambda} \right)^k \) を用いると、次のように簡略化されます:

  1. \( u = \left( \frac{x}{\lambda} \right)^k \) より、\( x = \lambda u^{1/k} \)
  2. 微分 \( dx = \frac{\lambda}{k} u^{1/k - 1} \, du \)

これを積分式に代入すると:

\[\begin{align*} F(t; k, \lambda) &= \int_{0}^{\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} e^{-u} \, du \\ & = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \end{align*} \]

信頼度は、

\[ R(t; k, \lambda) = 1 - F(t; k, \lambda) \]

\( F(t; k, \lambda) \) を代入すると:

\[ R(t; k, \lambda) = 1 - \left[ 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \right] \]

これを整理すると:

\[ R(t; k, \lambda) = \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]

2.4. 不信頼度(累積故障率) \( F(t; k, \lambda) \)

不信頼度は次のようになります。

\[ F(t; k, \lambda) = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]

不信頼度 \( F(t; k, \lambda) \) は、時間 \( t \) までに故障する確率を表し、次のように定義されます:

\[ F(t; k, \lambda) = 1 - R(t; k, \lambda) \]

したがって、

\[ F(t; k, \lambda) = 1 - \exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\} \]

2.5. 故障率 \( \lambda(t) \)

故障率は次のようになります。

\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda^k} t^{k-1} \]

故障率 \( \lambda(t) \) は$R(t)$ givenのもとで条件付き確率(ただし、実際には確率ではない)で、次のように定義されます。

\[ \lambda(t) = \frac{f(t; k, \lambda)}{R(t; k, \lambda)} \]

したがって、信頼度と確率密度関数を代入します。

\[ \lambda(t) = \frac{\frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k}}{\exp\left\{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k\right\}} \]

指数関数の部分 \( e^{-\left( \frac{t}{\lambda} \right)^k} \) が分子と分母で約分され、以下のようになります

\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^{k-1} \]

整理すると

\[ \lambda(t) = \frac{k}{\lambda^k} t^{k-1} \]

2.6. 故障率の分類

故障率の傾向は形状パラメータ \( k \) に依存し、以下のように分類されます。

  1. \( k < 1 \): 故障率が時間とともに減少します(初期的な故障)。製造上の欠陥などが原因で、最初は故障率が高く、時間とともに低下する傾向があります。
  2. \( k = 1 \): 故障率が一定です(偶発的な故障)。この場合、故障率は \( \lambda(t) = \frac{1}{\lambda} \) のように時間 \( t \) に依存しません。
  3. \( k > 1 \): 故障率が時間とともに増加します(摩耗的な故障)。部品や機械の摩耗が進むことで、故障率が上昇します。

この故障率の3つの分布はバスタブ曲線を思い出しますね。

3. ワイブル分布の応用例

  1. 製品寿命の予測
    電子機器、機械部品などの耐久性テストにおいて、ワイブル分布を使うことで、どの程度の期間でどの割合が故障するかを予測できます。
  2. 信頼性解析
    工場や製造業で、製品の保証期間を設定する際、製品の故障率を評価するために使用されます。

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