重み付きAM-GM不等式の意味と証明について

1. 重み付きAM-GM不等式

この不等式を記号を使わずに展開すると、

$$w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \geq  a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}$$

2. 具体例

2.1. $n = 2, w = \frac{1}{2}$ の場合

重み付きAM-GM不等式を考えるとき、

非負実数 $a_1$ と $a_2$ に対して、重み $w_1 = w_2 = \frac{1}{2}$ とすると次の式が成り立ちます。

$$\sum_{i=1}^2 w_i a_i = w_1 a_1 + w_2 a_2 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} a_2$$

$$\prod_{i=1}^2 a_i^{w_i} = a_1^{\frac{1}{2}} a_2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a_1 a_2}$$

よって、不等式は次のようになります：

$$\frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} a_2 \geq \sqrt{a_1 a_2}$$

これはよく知られている 相加相乗平均 です。

2.2. $n = 3$ の場合

非負実数 $a_1, a_2, a_3$ に正の重み $w_1, w_2, w_3$ があり、

重みの和が $w_1 + w_2 + w_3 = 1$ であるとき、重み付きAM-GM不等式は次のようになります。

$$w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3 \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} a_3^{w_3}$$

2.2.1. 特殊な場合： $w_1 = w_2 = w_3 = \frac{1}{3}$

各重みが等しい場合を考えると、

$$\frac{1}{3} a_1 + \frac{1}{3} a_2 + \frac{1}{3} a_3 \geq \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}$$

これは、3つの数の相加相乗平均を表しています。

2.2.2. 重みが均等でない場合

例えば、重み $w_1 = \frac{1}{2}, w_2 = \frac{1}{4}, w_3 = \frac{1}{4}$ のとき

$$\frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{4} a_2 + \frac{1}{4} a_3 \geq a_1^{\frac{1}{2}} a_2^{\frac{1}{4}} a_3^{\frac{1}{4}}$$

このように、重み付きAM-GM不等式は、重み $w_i$ の分布に応じて柔軟に適用できます。

2.3. AM-GM不等式

• 非負実数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、
• すべての重みが等しく、$w_1 = w_2 = \cdots = w_n = \frac{1}{n}$。
• この場合、重み付きAM-GM不等式は以下の形になります。

$$\sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i}$$

ここで、各重み $w_i = \frac{1}{n}$ を代入すると、

$$\frac{1}{n} a_1 + \frac{1}{n} a_2 + \cdots + \frac{1}{n} a_n \geq \left( a_1^{\frac{1}{n}} \cdot a_2^{\frac{1}{n}} \cdot \cdots \cdot a_n^{\frac{1}{n}} \right)$$

したがって、

$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}$$

この不等式の形は、AM-GM不等式になっています。

3. Jensenの不等式を用いた証明

重みの和が1ということで、Jensenの不等式が使えそうなので、凸関数$-\log x$を利用して、Jensenの不等式を利用して証明してみましょう。

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$w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$ より、Jensenの不等式を $-\log a_i$ について適用します。

$$w_1 (-\log a_1) + w_2 (-\log a_2) + \cdots + w_n (-\log a_n) \leq -\log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n)$$

この式を整理すると、

$$-w_1 \log a_1 – w_2 \log a_2 – \cdots – w_n \log a_n \leq -\log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n).$$

両辺に $-1$ を掛けて符号を反転させると、

$$w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n \geq \log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n).$$

この両辺を指数関数で変換すると、

$$\exp(w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n) \geq w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n.$$

左辺は $(a_1^{w_1})(a_2^{w_2}) \cdots (a_n^{w_n})$に等しいので、

$$a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n} \geq w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n.$$

3.1. 捕捉

$\exp(w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n)$が $(a_1^{w_1})(a_2^{w_2}) \cdots (a_n^{w_n})$に等しい理由は$\exp(\log x)=x$になるからです。よく使われる、入れ替える対数関数の計算の性質の一つですよね。