Weitzenböckの不等式の意味と証明について
1. Weitzenböckの不等式
\[ a^2 + b^2 + c^2 \;\geq\; 4\sqrt{3}\,S \]
2. 式変形を利用した証明
2.1. 証明の準備
証明のために、ヘロンの公式を利用します。
$$\begin{align*} S &=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)\{c-(a-b)\}} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{(a^2 + 2ab + b^2 – c^2)\{c^2-(a-b)^2 \}} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{(a^2 + 2ab + b^2 – c^2)\{c^2-a^2+2ab-b^2 \}} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab +a^2 + b^2 – c^2)\{2ab-( a^2+b^2 -c^2 ) \}} \\ &= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2} \\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)} \end{align*}$$
したがって、両辺を二乗して変形すると
$$16S=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)$$
となる。
2.2. 証明
二乗に着目すると次の不等式が成り立つ。
\[ (a^{2}-b^{2})^{2} + (b^{2}-c^{2})^{2} + (c^{2}-a^{2})^{2} \geq 0\]
a=b=cのときに、等号が成立します。展開すると、
\[ (a^{2}-b^{2})^{2} + (b^{2}-c^{2})^{2} + (c^{2}-a^{2})^{2} = 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}) – 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\]
よって、
\[\begin{align*} 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}) &\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \\ \frac{4}{3}(a^{4}+b^{4}+c^{4}) &\geq \frac{4}{3}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \\ \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2 &\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4}) \\ \end{align*}\]
したがって、証明の準備で計算したヘロンの公式より
\[ \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2 \geq 16S^2 \]
両辺の平方根を取って、
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 4\sqrt{3}S \]
3. AM–GM不等式を用いる証明
先ほどと同様に、以下の不等式から出発します。
\[ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0 \]
展開すると、
\[ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) – 2(ab+bc+ca) \geq 0 \]
よって、
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca \]
一方で、
\[ (a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(ab+bc+ca) \]
ここで \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca\) より
\[ \begin{align*} a^{2}+b^{2}+c^{2} &\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3} \\ a^{2}+b^{2}+c^{2} &\geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{81}} \\ a^{2}+b^{2}+c^{2} &\geq \sqrt{3(a+b+c)\frac{(a+b+c)^{3}}{27}} \\ \end{align*}\]
ここで、AM-GM不等式を
\[ x = -a+b+c,\quad y = a-b+c,\quad z = a+b-c \]
に適用すると
\[ \frac{(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}{3} \;=\; \frac{a+b+c}{3} \;\;\ge\;\; \sqrt[3]{(-a+b+c)(\,a-b+c)(\,a+b-c)} \]
両辺を 3 乗して \((a+b+c)\) を掛け合わせれば
\[ (a+b+c) \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3} \geq (a+b+c)\, (-a+b+c)\,(a-b+c)\,(a+b-c) \]
したがって、
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \sqrt{3(a+b+c)\, (-a+b+c)\,(a-b+c)\,(a+b-c)} \]
ヘロンの公式によると、面積 \(S\) は
\[ 16S^{2} = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \]
と表せるので、
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \sqrt{3 \cdot 16S^2} \]
したがって、
\[ a^2 + b^2 + c^2 \;\geq\; 4\sqrt{3}\,S \]
4. 内ナポレオン三角形の面積を用いる
内ナポレオン三角形の面積を求めると、その式中に次のような項が現れます。
\[ \frac{\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4\sqrt{3}S) \]
ナポレオン三角形の面積は非負であるため、
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2}-4\sqrt{3}S \geq 0 \]
よって、 \[ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 4\sqrt{3}S \]
