x^ne^xの極限・微分・積分・漸化式について

はるか

$x^ne^x$の様々な計算を見ていく。

ふゅか

うん！特に \( I_n \) の漸化式は積分を繰り返し解いていくプロセスが楽しそう！

1. 極限

1.1. \( x \to 0 \) のときの極限

\[ \lim_{x \to 0} x^n e^x \]

この場合、\( e^x \to 1 \) なので、

\[ \lim_{x \to 0} x^n e^x = \lim_{x \to 0} x^n = 0 \]

です。

ふゅか

まず、極限について話すと、\( x \to 0 \) の場合は \( e^x \) が1に近づくから、\( x^n e^x \) の極限はどうなるの？

はるか

簡単。\( x^n e^x \) の極限は、\( x^n \) が0になるので全体も0。

1.2. \( x \to \infty \) のときの極限

\[ \lim_{x \to \infty} x^n e^x \]

指数関数 \( e^x \) は多項式 \( x^n \) よりも急激に増加するので、

\[ \lim_{x \to \infty} x^n e^x = \infty \]

です。

1.3. 1.3. \( x \to -\infty \) のときの極限

\[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x \]

ここで、\( e^x \to 0 \) ですが、\( x^n \) は非常に大きな負の数になります。具体的には、\( e^x \) の減少が \( x^n \) の増加を上回るため、

\[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \]

です。

2. 微分

関数 \( f(x) = x^n e^x \) の微分を求めます。

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^n e^x) \]

積の微分法則を使うと、

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^n) \cdot e^x + x^n \cdot \frac{d}{dx} (e^x) \] \[ = n x^{n-1} e^x + x^n e^x \] \[ = (n x^{n-1} + x^n) e^x \]

です。

3. 積分と漸化式

部分積分を適用すると、

\[ \int x^n e^x \, dx = x^n e^x – \int e^x \cdot n x^{n-1} \, dx \]

この式を整理すると、

\[ \int x^n e^x \, dx = x^n e^x – n \int x^{n-1} e^x \, dx \]

$I_n = \displaystyle\int x^n e^x \, dx$と置くと、次のような漸化式が得られます。

\[ I_n = x^n e^x – n I_{n-1} \]

はるか

最後は積分。ここで漸化式が出てくる。部分積分を使う。

ふゅか

そうね！最初に \( I_n = \int x^n e^x \, dx \) って置いて、部分積分を進めていくと、\[ I_n = x^n e^x – n I_{n-1} \] という式が得られるわね！

3.1. 具体例

3.1.1.  \( I_0 \) の計算

\[ I_0 = \int e^x \, dx = e^x \]

3.1.2. 漸化式で \( I_1 \) を計算

漸化式 \( I_1 = x e^x – I_0 \) に \( I_0 = e^x \) を代入して計算します。

\[ I_1 = x e^x – e^x = e^x(x – 1) \]

3.1.3. 漸化式で \( I_2 \) を計算

次に漸化式 \( I_2 = x^2 e^x – 2 \cdot I_1 \) に \( I_1 = e^x(x – 1) \) を代入します。

\[ I_2 = x^2 e^x – 2(e^x(x – 1)) \]

\[ I_2 = x^2 e^x – 2 e^x(x – 1) = e^x(x^2 – 2x + 2) \]

最終的に \( I_2 \) の結果に積分定数 \( C \) を追加して、答えは次の通りです。

\[ I_2 = e^x(x^2 – 2x + 2) + C \]