【x^n+y^n】漸化式と基本対称式の関係の導出、例題について
1. 対称式へのアプローチ
「$x^2 + y^2$ の値を求めよ」という対称式の問題がありますが、$x^n + y^n$ではどうなるのかを考えます。具体的には、変数が2つまたは3つの場合に基本対称式を用いて漸化式に帰着させます。
2. 変数が2つの場合の漸化式
\[ a_{n+1} = (x+y)a_n - xy a_{n-1} \quad (n=1,2,3\cdots)\]
まず、変数が2つの場合を考えます。ここで、$a_n = x^n + y^n$ と定義し、$x+y = p$、$xy = q$ とおくと、この$a_n$に対して漸化式を導くことができます。
次に、$a_{n+1}$ と他の項の関係式を導きます。まず、$a_n$に$x+y$を掛けたものを展開します。
\[\begin{align*}pa_n &= (x^n + y^n)(x + y) \\ &= x^{n+1} + yx^n + xy^n + y^{n+1}\\ &= a_{n+1} + xy(x^{n-1} + y^{n-1}) \end{align*} \]
また、$a_{n-1}$に$xy$を掛けた場合も考えます。
\[ qa_{n-1} = xy(x^{n-1} + y^{n-1}) \]
これらを組み合わせることで、$a_{n+1}$ に関する漸化式が得られます。具体的には、$pa_n - qa_{n-1}$ を計算することで、
\[ pa_n - qa_{n-1} = a_{n+1} \]
\[ a_{n+1} = pa_n - qa_{n-1} \]
したがって、次のような漸化式が成り立ちます。
\[ a_{n+1} = (x+y)a_n - xya_{n-1} \]
これにより、任意の$n$に対する$a_n$を漸化式を用いて求めることが可能です。
3. 変数が3つの場合の漸化式
\[ a_{n+1} = (x+y+z)a_n - (xy+yz+zx)a_{n-1} + xyza_{n-2} \quad (n=2,3,4\cdots) \]
次に、変数が3つの場合を考えます。この場合も、$a_n = x^n + y^n + z^n$ と定義し、$x+y+z = p$、$xy+yz+zx = q$、$xyz = r$ とおくことで、漸化式を導くことができます。
同様に、$a_{n+1}$ と他の項の関係式を導くために、まず $a_n$ に $x+y+z$ を掛けたものを展開します。
\[\begin{align*} pa_n &= (x^n + y^n + z^n)(x + y + z) \\ &=(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})(xy^n + xz^n + yx^n + yz^n + zx^n + zy^n) \\ &=a_{n+1} + (xy^n + xz^n + yx^n + yz^n + zx^n + zy^n) \end{align*}\]
また、$a_n$に$xy + yz + zx$を掛けた場合も同様に展開します。
\[\begin{align*}qa_{n-1} &= (xy + yz + zx)(x^{n-1} + y^{n-1} + z^{n-1} ) \\ &= xy^n + xz^n + yx^n + yz^n + zx^n + zy^n+xyz(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}) \end{align*}\]
さらに、$a_{n-2}$に$r$を掛けると、
\[ ra_{n-2} = xyz(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}) \]
したがって、$ra_{n-2}$と$qa_{n-1}$ を組み合わせると、
$$qa_{n-1}-ra_{n-2}=xy^n + xz^n + yx^n + yz^n + zx^n + zy^n$$
以上より、次の漸化式が得られます。
\[ pa_n - qa_{n-1} + ra_{n-2} = a_{n+1} \]
したがって、変数が3つの場合には次のような漸化式が成り立ちます。
\[ a_{n+1} = (x+y+z)a_n - (xy+yz+zx)a_{n-1} + xyza_{n-2} \]
4. 例題
4.1. 例題1: 変数が2つの場合の対称式
$a_n = x^n + y^n$ とする。まず、与えられた条件から漸化式 $a_{n+1} = pa_n - qa_{n-1}$ を使用します。ここで、
- $p = x + y = 5$
- $q = xy = 6$
となるので、$a_{n+1} = 5a_n - 6a_{n-1}$ となります。初期条件を確認します。
$$\begin{align*}a_0 &= x^0 + y^0 = 1 + 1 = 2 \\ a_1 &= x^1 + y^1 = x + y = 5 \end{align*}$$
漸化式を使って $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ を求めます。
- $n = 1$ のとき： \[ a_2 = 5a_1 - 6a_0 = 5 \times 5 - 6 \times 2 = 25 - 12 = 13 \]
- $n = 2$ のとき： \[ a_3 = 5a_2 - 6a_1 = 5 \times 13 - 6 \times 5 = 65 - 30 = 35 \]
- $n = 3$ のとき： \[ a_4 = 5a_3 - 6a_2 = 5 \times 35 - 6 \times 13 = 175 - 78 = 97 \]
- $n = 4$ のとき： \[ a_5 = 5a_4 - 6a_3 = 5 \times 97 - 6 \times 35 = 485 - 210 = 275 \]
したがって、$a_5=x^5 + y^5$より、
$$x^5 + y^5 = 275$$
4.2. 例題2: 変数が3つの場合の対称式
$a_n=x^n+y^n+z^n$とします。まず、与えられた条件を確認します。
- $p = x + y + z = 6$
- $q = xy + yz + zx = 11$
- $r = xyz = 6$
漸化式 \( a_{n+1} = 6 a_n - 11 a_{n-1} + 6 a_{n-2} \) となります。
初期条件を確認します。
$$\begin{align*}a_0 &= x^0 + y^0 + z^0 = 1 + 1 + 1 = 3 \\ a_1 &= x^1 + y^1 + z^1 = x + y + z = 6 \\ a_2 &= (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 6^2 - 2 \times 11 = 36 - 22 = 14 \end{align*}$$
漸化式を使って $a_3$, $a_4$ を求めます。
- $n = 2$ のとき： \[ a_3 = p a_2 - q a_1 + r a_0 = 6 \times 14 - 11 \times 6 + 6 \times 3 = 84 - 66 + 18 = 36 \]
- $n = 3$ のとき： \[ a_4 = p a_3 - q a_2 + r a_1 = 6 \times 36 - 11 \times 14 + 6 \times 6 = 216 - 154 + 36 = 98 \]
したがって、$a_4=x^4 + y^4 + z^4 $より、
$$x^4 + y^4 + z^4 = 98$$
