リーマン・ゼータ関数の意味と性質について
はるか
リーマンゼータ関数って知ってる？
ふゅか
えーっと、聞いたことあるけど詳しくはわからないなあ。どんな関数なの？
はるか
\(\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\)。これがリーマンゼータ関数。無限級数で定義される。
1. リーマンゼータ関数
リーマン・ゼータ関数は、次のような無限級数で定義されます。
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \]
ここで、\(s\) は複素数を表します。この級数は、\(s\) の実部が1より大きい場合に収束します。
1.1. 例
- \(s = -1\) のとき：
\[ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} \] - \(s = 2\) のとき：
\[ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \] - \(s = 3\) のとき：
\[ \zeta(3) \simeq 1.20205 69031\ldots \] この値は「アペリーの定数」として知られています。
2. ゼータ関数の歴史
ゼータ関数の研究は、数学者レオンハルト・オイラーにより18世紀に始まりました。オイラーは特に、ゼータ関数が素数と深く結びついていることを発見しました。
リーマンゼータ関数の名前は、19世紀の数学者ベルンハルト・リーマンに由来します。彼はこの関数を複素平面上で解析的に拡張し、「リーマン予想」として知られる未解決問題を提起しました。
3. ゼータ関数と素数の関係
ゼータ関数のもう一つの重要な性質は、素数と密接に関係していることです。オイラーは次の公式を発見しました。
\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ 素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \]
4. リーマン予想
リーマン予想は、リーマンゼータ関数の非自明な零点（値がゼロになる点）がすべて実部が \( \frac{1}{2} \) である、という主張です。
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