σ加法族の意味と性質、証明について





1. σ加法族
σ加法族(シグマかほうぞく)とは、数学の分野(特に測度論や確率論)において重要な概念で、日本語では「σ-加法族」「σ-代数」などとも呼ばれます。
1.1. 定義
ある集合 \( X \) に対して、Xの部分集合族\( \mathcal{F} \) がσ加法族であるとは、次の3つをすべて満たす。
- \( \emptyset \) が \( \mathcal{F} \) に属する(つまり、\( X \in \mathcal{F} \))。
- \( \mathcal{F} \) に属する任意の集合の補集合(相対補集合も含む)が \( \mathcal{F} \) に属する。 具体的には、もし \( A \in \mathcal{F} \) ならば \( X \setminus A \in \mathcal{F} \)。
- \( \mathcal{F} \) に属する任意の集合列 \( A_1, A_2, A_3, \dots \) に対して、 \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F} \]
2. 性質
\(F\) を集合 \(X\) 上の σ-加法族とするとき,以下が成り立つ。
- \(X \in F.\)
- \(\{A_n\}\subset F \implies \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in F.\)
- \(A, B \in F \implies A \setminus B \in F.\)
- \(\{F_\lambda\}{\lambda \in \Lambda}\) を,いずれも \(X\) 上の σ-加法族とする。このとき, \[ F \;=\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \] も \(X\) 上の σ-加法族である。
2.1. (1) \(X \in F\)
これは σ-加法族の定義より、
$$\emptyset \in \mathcal{F} \implies X \in \mathcal{F}$$
となることからわかる。
2.2. (2) \(\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F \implies \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in F\)
任意の可算列 \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) が \(F\) に属するとする(すなわち各 \(A_n \in F\))。
- 各 \(A_n \in F\) なので,\(X \setminus A_n \in F\)。
- 補集合に対して,\(\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty (X \setminus A_n) \in F\)。
- \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty (X \setminus A_n) \)
よって,\(\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F\) ならば \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in F\) である。
2.3. (3) \(A,B \in F \implies A \setminus B \in F.\)
\(A, B \in F\) とする。すると, \[ A \setminus B \;=\; A \cap (X \setminus B). \]
- \(B \in F\) なので,補集合 \(X \setminus B \in F\)。
- (2) で示したように,特別な場合と考えれば、
\[ A \cap (X \setminus B) \;\in\; F \] が成り立つ。すなわち \(A \setminus B \in F\) となる。
2.4. (4) \(\displaystyle F \;=\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \) も σ-加法族である
ここで \(\{F_\lambda\}{\lambda \in \Lambda}\) は,それぞれ \(X\) 上の σ-加法族の族である。 以下,\(F = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda\) が σ-加法族であることを示すために,3つを順に確かめる:
- 全体集合 \(X\) を含む
\[ \forall \lambda,\; \emptyset \in F_\lambda \;\;\Longrightarrow\;\; \emptyset \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda. \] よって \(X \in F\) が成り立つ。 - 補集合への閉性
\(A \in F = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda\) とすると,それは「すべての \(\lambda\) で \(A \in F_\lambda\)」という意味である。各 \(F_\lambda\) で補集合に対する閉性があるので,\(\forall \lambda,\; X \setminus A \in F_\lambda\)。したがって\[ X \setminus A \;\in\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \;=\; F. \] - \(\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F\) を任意にとると,これは「\(\forall n,\; A_n \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda\)」を意味する。すなわち,\(\forall n,\; \forall \lambda,\; A_n \in F_\lambda\)。各 \(F_\lambda\) では可算合併に対して閉じているので、$\forall \lambda$に対して \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \;\in\; F_\lambda \] よって,\(\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n\) は \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda\) の元でもある。すなわち \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \;\in\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \;=\; F \]
これら3つの性質が成り立つことから,\(\displaystyle F = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda\) も \(X\) 上の σ-加法族になる。